數學與詩有什麼關係呢？似乎是毫無關係。數學處理的是抽象的事物，而詩處理的是感情的事情。然而，兩者具有某種本質上的共通點，那就是：美。

　　本書《數學、詩與美》嘗試要解開這兩個領域之間的類似之謎。它要示明，數學論述與詩如何以相同的方式感動我們。我們比較數學與詩的技巧，目的是要證明它們能夠激起相同的美感。

　　正如羅素 (Bertrand Russell) 所說的：「如果正確地看待數學，它不但擁有真理，而且還具有崇高的美──冷酷且嚴肅，像雕刻……，嚴格的純淨，能夠達到凜然完美的境界，只有最偉大的藝術能夠企及。」

　　若一位數學家不具有幾分詩人的氣質，那麼他就永遠成不了一個完整的數學家。
　　本書分成三篇：秩序、數學家與詩人如何思考、知覺的兩個層面。
 
　　第一篇秩序
　　在一根長為1公尺的竿子上有若干隻螞蟻，這些螞蟻會走動──有些向右走，其餘的則向左走，但是移動的速率都相同，每分鐘1公尺。這根竿子的直徑很小，一次只能容納一隻螞蟻通過，當有兩隻螞蟻相遇時，移動便無法繼續，接著就會如同兩顆撞球撞在一起一般，牠們會各自回轉並且繼續以原來的等速率前進。每當一隻螞蟻到達了竿端，它就會從竿子上掉下去並且永遠消失。

　　問題：所有的螞蟻最後都會掉下竿子嗎？如果會，那要花費多少時間？
 
　　第二篇數學家與詩人如何思考
　　詩的圖像
　　一切的峰頂
　　沈靜，
　　一切的樹尖
　　全不見
　　絲兒風影。
　　小鳥們在林間無聲
　　等著罷：俄頃
　　你也要安靜。
　　德國詩人歌德(Johann Wolfgang von Goethe, 1749-1832)
　　《流浪者的夜歌II》，梁宗岱漢譯
 
　　數學的圖像
　　我如何思考我的問題？
　　用方法論與圖像的方式。
　　德國數學家高斯(Karl Friedrich Gauss)

　　數學與詩的類推，就像是在打乒乓球。球在具體與抽象之間來回。數學是從具體打向抽象，詩是從抽象打向具體。換言之，數學用抽象與普遍來表現真理，詩用特殊與具體來表現普遍人性。

　　像是詩人形容「眼睛」會先想到其特性：柔軟或形狀，進而以具體的事物：「你的眼睛像鴿子。」呈現詩的美；而牛頓觀察到蘋果落地時，也透過想像力聯想為什麼蘋果會落地，月亮卻不落地？透過具體的事物「蘋果」和「月亮」，聯想出抽象數學觀念──地球有「引力」。（兩個例子出自本書第１８、２０章）
 
　　第三篇知覺的兩個層面
　　按本質而言，純數學是邏輯理念的一首詩。
　　愛因斯坦
 
　　按其自身來評價，數學是人類精神的根本解放之一，就像藝術或詩。
　　美國數學家Oswald Veblen (1880-1960)

 

作者簡介

Ron Aharoni

　　Ron Aharoni是以色列理工學院數學科學中心教授 。
　　專長是組合學與圖論。

譯者簡介

蔡聰明

　　一生在臺大數學系從事數學研究與數學教育，最喜愛數學、物理學、哲學與詩。目前已經退休。平時喜愛旅遊、登山健行、打網球以及從事普及數學的寫作。雖然寫作是快樂中有辛苦，甚至是甜蜜中有痛苦，但是仍然樂此不疲。衷心的願望是：幫助年輕學子也喜愛數學，體驗數學的妙趣，並且扭轉他（她）們普遍對數學是面目可憎的刻板印象。
 

《鸚鵡螺數學叢書》總序

導論：魔法
1. 數學與詩
2. 轉移作用

第I篇：秩序
3. 螞蟻在竿子上的奇妙現象
4. 隱藏的秩序
5. 發現或發明
6. 秩序與美
7. 數學的和聲
8. 為什麼根號2不是有理數？
9. 實數系
10. 規律的奇蹟
11. 簡單猜測具有複雜的證明
12. 獨立事件

第II篇：數學家與詩人如何思考
13. 數學的意象與詩的意象
14. 隱晦的威力
15. 濃縮
16. 數學的乒乓遊戲
17. 上帝之書
18. 詩的乒乓遊戲
19. 守恆定律
20. 來自某處的念頭
21. 數學的三種類型
22. 拓撲學
23. 婚姻的配對
24. 想像力
25. 一個魔數
26. 真實或想像
27. 無預期的組合
28. 什麼是數學？
29. 深刻的套套邏輯
30. 對稱性
31. 不可能辦到的事情
32. 無窮的誇大
33. 康拓的故事
34. 最美麗的證明？
35. 詭論與矛盾修飾法
36. 自我指涉與哥德爾定理
37. 前往無窮大的半途：大數
38. 無窮小量
39. 無窮多個數之和為有限數
40. 情節逆轉

第III篇：知覺的兩個層面
41. 不知道的知道
42. 內容與外殼
43. 改變
44. 隔離
45. 無盡的相遇

附錄A：數學領域
附錄B：數的集合
附錄C：本書提到的詩的機制

 

序

　　在本書中，我要追尋詩與數學共同的特徵與運作機制，以便看出它們共通的美。為此，我不得不要觸及最難以捉摸的一個哲學問題──什麼是美？比較這兩個領域所得到的獨特透視，也許可以提供一條線索。詩與數學的距離這麼遙遠，縮小討論的範圍才是尋求答案之道。聚焦於這兩個領域的交集，其範圍遠小於分開來討論。兩個領域重疊的部分越小，代表我們要尋求的分母面積越小。如我已經說過的，答案不可能是簡單的，但是有一個詞足以捕捉它的本質：魔法(magic)。詩與數學的美感皆來自於如魔術般地把真正發生的事情隱藏起來。

　　揭露隱藏的真相，其威力同樣是強大的。「詩總是在尋找真理」，這是作家卡夫卡(Franz Kafka, 1883-1924)說的話，以後我們還會再回到它。詩所告訴我們的表面東西只是實相的一小部分，內在蘊含的力量才更重要。在小船下方洶湧的暴風雨，顯示這是非常勇敢的一條小船；儘管它看起來即將沉沒，但它仍會張開船帆並且勇敢向前航行。

　　所以，這本書是關於詩和數學的魔法，以及兩者之間的緊密關係。我們把它分成三個部分：第I部分是關於秩序(order)。我們將在兩個領域中挖掘隱藏的模式(hidden patterns)。第II部分探討兩個領域中的共同技法(common techniques)。最後，第III部分是對於美的概念作出結論。